Ecuación Cuadrática

 

>>> Estructura de una Ecuación Cuadrática:

///   ax² + bx + c   =   0

>>> Las ecuaciones cuadráticas tienen a, b y c dentro de los números reales, y a nunca puede ser 0.

>>> Las ecuaciones cuadráticas tienen 2 soluciones y se llaman raices, pueden ser iguales, distintas o ninguna.

>>> Las ecuaciones cuadráticas se igualan a 0 porque de esa manera es mucho más fácil resolverlas cuando están factorizadas. Al convertir uno de los lados en 0, la factorización se anula y la ecuación se iguala a 0.

=   x² - 22x + 112   =   0

=   ( x - 14 ) × ( x - 8 )   =   0  

 

>>> La primera solución de x es 14, y el lado izquierdo de la factorización se vuelve 0 y la multiplicación resultante se vuelve 0 = 0. La segunda solución de x es 8, el lado derecho de la factorización se vuelve 0 y la multiplicación resultante se vuelve 0 = 0 también.

=    ( x - 14 ) × ( x - 8 )   =   0   ( x = 14 )

=    ( 14 - 14 ) × ( 14 - 8 )   =   0

=    0  ×  6    =   0

=    0   =   0

=   ( x - 14 ) × ( x - 8 )   =   0   ( x = 8 )

=   ( 8 - 14 ) × ( 8 - 8 )   =   0

=    - 6  ×  0    =   0 

=    0   =   0

 

>>> Así, las 2 raíces o soluciones de esta ecuación son distintas y son x₁ = 14 y x₂ = 8.

>>> Resolución por Factorización de Termino Común:

///   3x² -  9x   =   0

>>> La factorización por termino común busca descomponer la ecuación e identificar los mínimos comunes por los que se puede factorizar a cada uno de los términos presentes.

=   3x² -  9x   =   0

=    3 × x × x   -   3 × 3 × x   =   0

>>> Se identifican los mínimos comunes entre los términos.

=    3 × x × x   -   3 × 3 × x   =   0 

>>> Los comunes identificados se anotan al principio de la factorización, y los sobrantes se anotan dentro de los paréntesis de la factorización.

=   3x ( x - 3 )   =   0 

>>> Una vez lista la factorización e igualada a 0, se pueden hallar fácilmente las 2 soluciones de la misma manera que el principio anulando uno de los lados de la factorización. 

=    x₁ = 0 y x₂ = 3, soluciones distintas.

 

>>> Resolución por Factorización de Cuadrado de Binomio:

///   x² -  6x + 9   =   0

>>> En este caso se puede identificar que la ecuación tiene un primer y tercer términos que están o pueden elevarse al cuadrado, que es compatible con la formula del cuadrado de binomio ( a ± b ) ²  =   a² ± 2ab + b².

=   x² -  6x + 9   =   0

=   ( x - 3 ) ²  =   0

=   ( x - 3 ) ( x - 3 )   =   0 

>>> Una vez lista la factorización e igualada a 0, se pueden hallar fácilmente las 2 soluciones de la misma manera que el principio anulando uno de los lados de la factorización. 

=    x₁ = x₂ = 3, soluciones iguales. 

 

>>> Resolución por Factorización de Suma por Diferencia:

///   9x² -  81   =   0

>>> En este caso se puede identificar que ambos términos pueden entenderse como términos individuales elevados al cuadrado, y se pueden convertir en una factorización de suma por su diferencia que es a² -  b²   =   ( a - b ) ( a + b )

=   3² x²  -  9 ²   =   0

=   ( 3x ) ² - 9 ²   =   0

=   ( 3x - 9 ) ( 3x + 9 )   =   0 

>>> Una vez lista la factorización e igualada a 0, se pueden hallar fácilmente las 2 soluciones de la misma manera que el principio anulando uno de los lados de la factorización. 

=    x₁ = 3 y x₂ = - 3, soluciones distintas.  

 

>>> Resolución por Factorización de Binomio con Término Común:

 

///   x² - 2x - 63   =   0

 

>>> Cuando no se identifica ninguno de los 3 métodos anteriores en la ecuación, podría tratarse de un binomio con termino común, y se deben realizar los 2 pasos de este método:

 

[1] Anotar inmediatamente los paréntesis y los signos, el primer signo es el mismo que acompaña a la segunda x ( - ), mientras que el segundo signo es el resultado del producto entre los 2 signos de la ecuación ( - × - ).

=   ( x - ? ) ( x + ? ) 

[2] Considerando los signos, encontrar 2 números que sumados resulten ser el valor del termino central, y multiplicados resulten ser el valor del ultimo termino.

En este caso, sumados deben dar -2, y multiplicados deben dar -63. 

Se pueden intentar las distintas combinaciones de multiplicaciones para resolver rápidamente. 

=   63 × 1          |||   21 × 3          |||   7 × 9

     63 - 1 = 62   |||   21 - 3 = 18   |||   7 - 9 = -2

>>> Se colocan los números hallados considerando los signos ya insertos.

=   ( x - 9 ) ( x + 7 )   =   x² - 2x - 63

=   ( x - 9 ) ( x + 7 )   =   0 

 

>>> Una vez lista la factorización e igualada a 0, se pueden hallar fácilmente las 2 soluciones de la misma manera que el principio anulando uno de los lados de la factorización. 

=    x₁ = 9 y x₂ = - 7, soluciones distintas.  

>>> Resolución por Formula General: 

///    - b ± ( √ b² - 4ac ) 

         2a 

 

>>> Resolver una ecuación cuadrática utilizando la formula general siempre dará el resultado de ambas soluciones de x y se puede utilizar como un ultimo recurso si no se logra identificar algún método de factorización, ya que la formula suele ser un cálculo más largo. 

>>> Discriminante de una Ecuación Cuadrática: 

///   Δ   =   b² - 4ac

 

>>> Si solo se desea saber que tipo de soluciones tiene la ecuación cuadrática, y no los valores de los resultados, se puede utilizar la formula del discriminante Δ, que es un extracto de la formula general y se utiliza precisamente para conocer la naturaleza de las soluciones.

>>> Puede tener 3 soluciones:

[1]   Δ   >   0   →   2 soluciones reales distintas.

[1]   Δ   =   0   →   2 soluciones reales iguales.

[1]   Δ   <   0   →   No hay solución real / 2 soluciones complejas distintas