Función Cuadrática y Función Potencia

 

>>> Estructura de una Función Cuadrática:

///   f (x)   =   ax² + bx + c

>>> Las funciones cuadráticas se pueden escribir de la forma de arriba, pero algunas veces algunas partes de la función podrían no estar presentes y se deben identificar los valores que acompañan a la x², al x y el valor c, ósea se deben identificar a b y c.

=    f (x)   =   x² + 2x + 3   →   a = 1       |||   b = 2   |||   c = 3

=    f (x)   =   - 4x² + 5x     →   a = - 4     |||   b = 5   |||   c = 0

=    f (x)   =   x²/ 2 - 8        →   a = 1/2    |||   b = 0   |||   c = - 8

>>> En un plano cartesiano, una función cuadrática forma una parábola que dependiendo de sus condiciones se definirá su amplitud, su dirección, y los puntos de corte en los ejes.

>>> Resolución de una Función Cuadrática:

///   f (x)   =   ax² + bx + c

>>> En una función cuadrática se deben hallar 4 cosas:

 

[1] Intersección eje Y:

=   La intersección del eje Y corresponde exactamente al punto ( 0, c )

[2] Raíces de la función:

=   Las Raíces o soluciones se refieren a los 2 puntos en los que la parábola corta al eje X ( x₁ y x₂ ), y se obtiene al resolver la ecuación cuadrática de la función mediante factorización o la formula general.

[3] Eje de Simetría de la Parábola en el eje X: 

=   El eje de simetría se representa con la letra h, y se consigue con la fórmula - b / 2a, o si se tiene la posición de 2 puntos se puede hacer ( x₁ + x₂ ) / 2

[4] Vértice de la parábola:

=   El vértice de la parábola se halla generando un punto ( x, y ), donde x será exactamente el mismo punto del eje de simetría h = ( - b / 2a ), e y será el resultado de resolver la función cuadrática reemplazando x con el valor obtenido de h, o de usar la formula k = ( 4ac - b² ) / 4a.

>>> Forma Canónica de una Función Cuadrática: 

///   f (x)   =   a ( x - h )² + k

>>> Toda función cuadrática de la forma general  f (x)   =   ax² + bx + c  se puede reescribir de la forma canónica f (x)   =   a ( x - h )² + k.

>>> La diferencia de la forma canónica es que en los valores de su ecuación se hallan las coordenadas exactas del vértice de la parábola, h y k.

>>> Al extraer ambos valores de la ecuación para formar el vértice, h siempre debe extraerse con el signo invertido, mientras que k se extrae normalmente con el signo que lo acompaña.

=   f (x)   =   -3 ( x + 4 )² - 5

=   h = - 4   y   k = - 5

>>> Estructura de una Función Potencia:

///   [1] f (x)   =   axⁿ

      [2] f (x)   =   a ( x - h ) ⁿ + k

>>> En el caso de [1], la función nace del origen, mientras que en [2] se agregan h y k, coordenadas del vértice de la parábola y representan una traslación de esta en el plano.

>>> Cuando a es positivo, la parábola sube, y cuando a es negativo, la parábola baja.

>>> n puede ser un numero natural igual o mayor a 2. La influencia de n sobre la parábola es hacer que mientras mayor sea el valor de n, la parábola adopte una forma más cuadrada en el grafico, y lo logra haciendo que los valores iniciales de la parábola se extiendan más por el eje horizontal antes de despegar verticalmente.

>>> También se debe nota que la forma del grafico dependerá de si n es par o impar. si n es par, la parábola tendrá la forma usual, mientras que si n es impar, la parábola se partirá en el su vértice, con uno de sus lados ascendiendo y el otro descendiendo. aún así, el valor de n seguirá indicando que tan cuadrada se verá esta parábola. En este caso, cuando a es positivo, la parábola sube de izquierda a derecha, y cuando a es negativo, la parábola baja de izquierda a derecha.