Productos Notables y Factorización

 

>>> Términos Algebraicos:

///   ± 2 / 3  ab

>>> Un termino algebraico es el producto entre un  Coeficiente Numérico  y un   factor literal.  Esta acompañado de un signo.

>>> Expresión Algebraica:

///   -  2 / 3  ab  +  2 abc  -  1 / 3 ab

>>> Las expresiones algebraicas son conjuntos de términos algebraicos que están separados por los signos. 

>>> Términos Semejantes y Reducción de Términos:

///   5x + 7y + 8z + 4z - 2xy + 6xz - 2y

>>> En las expresiones algebraicas, algunos términos algebraicos tienen factores literales iguales que se consideran Términos semejantes, y estos pueden sumarse o restarse normalmente entre ellos, lo que se llama reducir términos.

=   5x + 7y + 8z + 4z - 2xy + 6xz - 2y

=   5x + 5y + 12z - 2xy + 6xz

>>> Es necesario que ambos factores literales sean exactamente iguales para poder combinarse. 

>>> Operatoria de Multiplicación y División:

///   8ax × 2cdx

=   8 × 2 × a × x × c × d × x

=   16acdx²

 

///   8ax / 2cdx

=   8ax / 2cdx

=   4a / cd

=   4a (cd) ⁻¹

 

>>> Productos Notables:

///   Cuadrado de Binomio

=   ( a + b ) ²   =   ( a + b )( a + b )   =   a ² + 2ab + b ²

=   ( a - b ) ²    =   ( a - b )( a - b )     =   a ² - 2ab + b ²

 

///   Suma por su diferencia

=    ( a + b )( a - b )   =   a ² - b ² 

///   Binomios con termino común 

=   ( x + a )( x + b )   =   x ² + ( a + b ) x + ab 

>>> Factorización:

>>> La factorización es el proceso de descomponer una expresión algebraica en factores. Los factores se refieren a cada uno de los coeficientes tanto numéricos como literales que se están multiplicando para conseguir un producto. 

>>> Tiene por objetivo convertir una suma o resta en una multiplicación, y hay distintos métodos.

///   Factor Común 

>>> El método más fácil de factorización, y necesita que todos los terminos a factorizar tengan al menos 1 elemento en común entre todos.

>>> Se descomponen los términos por separado, y se identifican los elementos que se repiten al menos 1 o más veces entre todos los términos.

=   2ab² - 4a²b + 6a³b⁴

=     2ab²   =   2 × a × b × b

=   - 4a²b   =   - 2 × 2 × a × a × b

=   6a³b⁴    =   3 × 2 × a × a × a × b × b × b × b

=   En todos los términos se repiten al menos una vez un 2, un a y un b.

=   Por lo tanto el factor común será 2ab, y dentro del paréntesis se anotara todo aquello que no se utilizó.

=   2ab ( b - 2a + 3a²b³ )

 

///   Factorización por Agrupación

>>> Se utiliza para factorizar expresiones que no tienen un termino en común entre todos, pero si entre ciertos términos. La factorización por agrupación funciona como una multiplicación entre paréntesis.

>>> Los grupos de paréntesis deben tener la misma cantidad de términos, y se factorizaran por separado. Este método busca que todas las factorizaciones resulten en exactamente los mismos paréntesis a los lados. 

=   2x - 4y + x² - 2xy

=   2x - 4y   =   2 ( x - 2y )

=   x² - 2xy   =   x ( x - 2y )

=   2x - 4y + x² - 2xy

=   2 × ( x - 2y )  +  x × ( x - 2y )

=   Con este resultado, se puede reaplicar la misma propiedad de la factorización que funciona de esta manera:

=   2 × ★  +  x × ★

=   ★ × ( 2 + x )

=   ★   =   ( ... )   El paréntesis se vuelve el termino común.

=   2 × ( x - 2y )  +  x × ( x - 2y )

=   ( x - 2y ) × ( 2 + x )

 

///   Factor por Diferencia

>>> Busca convertir la expresión en una suma por su diferencia, que es fácilmente reconocible como una resta de 2 valores al cuadrado.

=   x² -  16

=   x² -  4 ²

=   ( x + 4 )( x - 4 ) 

 

///   Binomio con termino común

>>> El procedimiento de binomio con termino común se puede identificar por la forma ax² + bx + c cuando esta no tiene términos comunes para factorizar.

>>> Procedimiento por pasos: 

=   x² - 7x + 12 

>>> Se anotan inmediatamente los paréntesis del binomio resultante con la incógnita en ellos como el valor inicial de cada uno. El primer signo será el mismo del valor de la incógnita central del problema, mientras que el segundo signo será el resultado de la multiplicación de ambos signos del problema.

=   ( x -    )( x -    )

>>> Los valores faltantes corresponden a 2 números que sumados den como resultado el valor del numero central, mientras que multiplicados deben dar como resultado el valor del ultimo numero del problema.

=   - 4   y  - 3

=   - 4 - 3   =   - 7 

=   - 4 × - 3   =   12  

///   Completación de Cuadrados

>>> Completación de cuadrados es un procedimiento que ayuda a factorizar un cuadrado de binomio cuando este no está escrito de una manera correcta para realizarlo.

///   k ² + 2k + 4

 

=   Si se sigue la formula del cuadrado de binomio, este daría un resultado incorrecto.

=   ( a + b ) ²   =   a ² + 2ab + b ²  

=   ( k + 4 ) ²   ≠   k ² + 2k + 4

=   ( k + 4 ) ²   =   k ² + 8k + 16

=   Por lo tanto, se necesita hallar el valor que en este caso es erróneo.

=   ( k + ? ) ²   =   k ² + 2k + 4

=   Se puede obtener mediante la siguiente formula:

=   b ² /  4a   =   ?

=   2 ² / 4 × 1

=    4 / 4

=   1   =   ?

=   ( k + 1 ) ²

=   El valor obtenido es el numero que se necesita para completar el cuadrado, que esta presente en la ecuación original pero que debe reorganizarse.

=   k ² + 2k + 4

=   k ² + 2k + 1 + 3

=   ( k + 1 ) ² + 3